Matematik Üçgende Benzerlik Konu Anlatımı

Üçgende Benzerlik

Bu konu anlatımımızda YGS, LYS, KPSS, DGS, TEOG ve daha bir çok sınavda karşımıza çıkan ve çok önemli bir konu olan Matematik Üçgende Benzerlik konusunun geniş konu anlatımını, konunun önemli yerlerini bulabilirsiniz.

1. Benzer Üçgenler

Karşılıklı açıları eş ve karşılıklı kenarları orantılı olan üçgenlere benzer üçgenler denir.

 

1_üçgende-benzerlik

2_üçgende-benzerlik oranı yazılır

ABC ve DEF üçgenleri için;

Buradan ABC üçgeni ile DEF üçgeni benzerdir denir ve

ABC ~ DEF biçiminde gösterilir.

3_üçgende-benzerlikeşitliğinde verilen k sayısına, benzerlik oranı yada benzerlik

katsayısı denir.

  • k = 1 olan benzer üçgenlerde karşılıklı kenarlar eşit olduğundan, bu üçgenlere eş üçgenler denir.

ABC ~ DEF benzerliği yazılırken eş açıların sıralanmasına dikkat edilir.

4_üçgende-benzerlik

2. Açı – Açı Benzerlik Teoremi

Karşılıklı ikişer açıları eş olan üçgenler benzerdir.

5_üçgende-benzerlik

şekilde verilen üçgenlerde
6_üçgende-benzerlik

İkişer açıları eş olduğundan, üçüncü açıları da eş olmak zorundadır. Dolayısıyla bu iki üçgen benzer üçgenlerdir.

m(C)=m(F)

7_üçgende-benzerlik

3. Kenar – Açı – Kenar Benzerlik Teoremi

İki üçgenin karşılıklı ikişer kenarı orantılı ve bu kenarların oluşturduğu karşılıklı açılar eş ise, üçgenler benzerdir.

8_üçgende-benzerlik
9_üçgende-benzerlik

ABC üçgeni ile DEF üçgeninin BAC ve EDF açıları eş, bu açıların kenarları da orantılı ise, bu iki üçgen benzerdir.

BAC açısının kısa kenarının EDF açısının kısa kenarına oranı, BAC açısının uzun kenarının EDF açısının uzun kenarına oranına eşittir.

4. Kenar – Kenar – Kenar Benzerlik Teoremi

İki üçgenin karşılıklı bütün kenarları orantılı ise bu iki üçgen benzerdir.

10_üçgende-benzerlik
11_üçgende-benzerlik

Kenarları orantılı olan ABC ve DEF benzer üçgenlerinde orantılı kenarları gören açılar eştir.

m(A) = m(D),

m(B) = m(E),

m(C) = m(F)

5. Temel Benzerlik Teoremi

ABC üçgeninde [DE] // [BC] ise yöndeş açılar eşolacağından ADE ~ ABC dir.
13_üçgende-benzerlik14_üçgende-benzerlik
12_üçgende-benzerlik
  • Ağırlık merkezinden çizilen paralel doğru kenarları 1birime 2 birim oranında böler. ABC üçgeninde G ağırlık merkezi ve [KL] // [BC]
    |AK|=2|KB||AL|=2|LC|
15_üçgende-benzerlik

6. Tales Teoremi

Paralel doğrular kendilerini kesen doğruları aynı orandabölerler. d1 // d2 // d3 doğruları için
17_üçgende-benzerlikBuradan 18_üçgende-benzerlik de elde edilir.
16_üçgende-benzerlik
  • [AB] // [DE] ise oluşan içters açıların eşitliğinden,ABC ~ EDC olur. Buradan,
    19_üçgende-benzerlik
    eşitliği elde edilir. Buna kelebek benzerliği de denir.
20_üçgende-benzerlik

7. Benzerlik Özellikleri

Benzer üçgenlerin açıları karşılıklı olarak eş, diğer bütün elemanları orantılıdır.

21_üçgende-benzerlik
ABC ~ DEF Û 22_üçgende-benzerlik

Burada k ya benzerlik oranı denir.

a. Benzer üçgenlerde orantılı kenarlara ait yüksekliklerin oranı benzerlik oranına eşittir.

 

23_üçgende-benzerlik

b. Benzer üçgenlerde orantılı kenarlara ait kenar-ortay uzunluklarının oranı benzerlik oranına eşittir.

24_üçgende-benzerlik
c.
Benzer üçgenlerde eş açılara ait açıortay uzunluklarının oranı benzerlik oranına eşittir.

25_üçgende-benzerlik

d. Benzer üçgenlerin çevrelerinin oranı benzerlik oranına eşittir.

26_üçgende-benzerlik

e. ABC üçgeninde içteğet çemberin yarıçapı rABC ve çevrel çemberin yarıçapı RABC , DEF üçgeninde içteğet çemberin yarıçapı rDEF ve çevrel çemberin yarıçapı RDEF olsun.

27_üçgende-benzerlik

f. Alanlar oranı

Benzer üçgenlerin alanlarının oranı benzerlik oranının karesine eşittir.

28_üçgende-benzerlik

29_üçgende-benzerlik
g.
Benzerlik oranı k = 1 olan üçgenler eş üçgenlerdir.

  • Kenarları eşit aralıklı paralellerle bölünmüş olan üçgenlerde alanlar 1, 3, 5, 7 … gibi tek sayılarla orantılı olarak artar.
30_üçgende-benzerlik
  • [AB] // [EF] // [DC] benzerlik özelliklerinden,

32_üçgende-benzerlik

|AB|.|FC|=|DC|.|BF|
31_üçgende-benzerlik

8. Özel Teoremler

a. Menelaüs

ABC üçgeni KM doğru parçası ile şekildeki gibi kesiliyor ise

34_üçgende-benzerlik

33_üçgende-benzerlik

b. Seva

ABC üçgeni içerisinde alınan bir P noktası için,

36_üçgende-benzerlik

35_üçgende-benzerlik

Leave a Reply

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir